# یک روش عددی برای حل مسئله قیمت‌گذاری اختیارات آمریکایی تحت مدل نرخ بهره تصادفی CIR

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشیار گروه ریاضی، دانشکده علوم ریاضی و رایانه، دانشگاه علامه طباطبائی، تهران، ایران

2 گروه آمار، واحد علوم و تحقیقات، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران.

3 استاد تمام گروه آمار، دانشکده علوم ریاضی و رایانه، دانشگاه علامه طباطبائی، تهران، ایران.

چکیده

هدف اصلی این مقاله تعیین قیمت اختیار فروش آمریکایی می‌باشد هنگامی که نرخ بهره خود از یک فرایند تصادفی تبعیت می‌کند. بدین منظور، ابتدا مدل دارایی پایه را به مدل نرخ بهره تصادفی کاکس-اینگرسول-راس[i] (CIR) توسعه می‌دهیم. سپس، مسئله قیمت‌گذاری اختیارت آمریکایی تحت مدل نرخ بهره تصادفی CIR، را به صورت یک مسئله مکمل خطی[ii]  (LCP) دو بعدی فرمول بندی می‌کنیم. برای حل این LCP دو بعدی روش تجزیه مولفه‌ای دو سیکل[iii] را پیشنهاد کرده‌ایم. در این روش، LCP دو بعدی به‌دست آمده برای قیمت‌گذاری اختیار آمریکایی به شش LCP یک بعدی در چندین مرحله‌ی زمانی کسری تجزیه شده، و سپس هر LCP به‌طور عددی در دو مرحله حل می‌شود. به‌طوری که در مرحله‌ی اول از طریق حل دستگاه معادلات سه قطری قیمت‌های اختیار به‌دست می‌آید، و سپس در مرحله‌ی دوم (مرحله به هنگام‌سازی) مقادیر قیمت‌های اختیار به‌دست آمده با توجه به شرایط مسئله قیمت‌گذاری اختیار آمریکایی اصلاح و به هنگام می‌شوند. در نهایت، نتایج عددی حاصل از روش‌ تجزیه معرفی شده را با نتایج شبیه‌سازی مونت کارلو مقایسه خواهیم کرد.

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

### A Numerical method for solving the problem of Pricing American Options under the CIR stochastic interest rate model

نویسندگان [English]

• maryam safaei 2
1 Department of Mathematics, Faculty of mathematics Science and Computer, Allameh Tabataba&rsquo;i University, Dr. Beheshti and Bokharest Ave., Tehran, Iran
2 Department of Statistics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran
3 Department of Statistics, Faculty of Mathematics Science and Computer, Allameh Tabataba&rsquo;I University, Dr. Beheshti and Bokharest Ave., Tehran, Iran
چکیده [English]

The main purpose of this study is to derive the price of American put option, when the interest rate follows a stochastic process. For this purpose, first underlying asset model is expanded to CIR stochastic interest rate model. Then, the problem of American option pricing under CIR stochastic interest rate model is formulated as a two-dimensional linear complementarity problem (LCP). We propose a two-cycle componentwise splitting method for solving this two-dimensional LCP. In this method, the two-dimensional LCP, obtained for the valuation of an American option, is decomposed into six one-dimensional LCPs in several fractional time steps, and then each LCP is solved numerically in two steps. So that in the first step, the tridiagonal systems of equations are solved, and then in the second step (update step), the obtained values of option prices are modified and updated according to the conditions of the American option pricing problem. Finally, the numerical results obtained by splitting introduced method are compared with the Monte Carlo simulation results

کلیدواژه‌ها [English]

• Componentwise splitting method
• American option pricing
• CIR stochastic interest rate model
• Linear complementarity problem