# جواب عددی معادله بلک-شولز زمان-کسری برای اختیار مانع دوگانه اروپایی با پارامترهای وابسته به زمان تحت مدل ‎ CEV

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 دانشجوی دکتری گروه ریاضی کاربردی-ریاضی مالی، دانشگاه سمنان، سمنان، ایران

2 استادیار گروه ریاضی مالی، دانشکده علوم مالی دانشکده خوارزمی، تهران، ایران

چکیده

اختیارهای مانع از پرکاربردترین مشتقات مالی به حساب می‌آید‎ که با توجه به قیمت ارزان‌تر آن در مقایسه با سایر اختیارهای استاندارد[i]، به طور گسترده در بازارهای مالی داد و ستد می‌شوند. همچنین این اختیارها از خانواده اختیارهای وابسته به مسیر[ii] هستند، چرا که ارزش آن‌ها به مسیر حرکتی ارزش دارایی پایه در طول مدت قرارداد اختیار بستگی مستقیمی دارد. از آنجا که معادله دیفرانسیل مرتبه صحیح برای توصیف اثر حافظه طولانی مدت در بازار مالی ناتوان است، در این مقاله معادله دیفرانسیل مرتبه کسری را در نظر می‌گیریم. همچنین برای اینکه مسأله ما به مدل واقعی بازار نزدیک‌تر شود، فرض می‌کنیم که نرخ بهره بدون ریسک[iii]، سود تقسیمی[iv] و نوسان‌پذیری[v] به صورت تابع می‌باشند. هدف اصلی این مقاله تعیین ارزش اختیارهای مانع دوگانه بی‌ارزش اروپایی[vi] در حالتی که دارایی پایه از مدل الاستیسیته ثابت واریانس[vii]  تبعیت می‌کند‏، تحت مدل بلک-شولز زمان-کسری‏ با مرتبه کسری  می‌باشد. این قبیل مسائل جواب دقیق به فرم بسته ندارند‏، بنابراین‏ به کمک روش تفاضلات متناهی با معرفی یک طرح تفاضلی غیرصریح‏، یک جواب عددی مناسب برای آن پیدا می‌کنیم. در ادامه پایداری بدون شرط و همگرایی طرح پیشنهادی را با استفاده از آنالیز فوریه‏ بررسی نموده و با ذکر چند مثال عددی کارایی طرح تفاضلی پیشنهادی و مرتبه همگرایی عددی آن را نشان می‌دهیم‎‎. علاوه بر این، تأثیر هر یک از پارامترهای مهم مدل ( ،  و ) را روی حافظه طولانی مدت در قالب جدول و شکل بررسی می‌کنیم.

[i] Standard options

[ii] P‎ath-dependent option

[iii] Risk free interest rate

[iv] Dividend yield

[v] Volatility

[vi] European d‎ouble-knock-‎out‎ barrier option

[vii] C‎onstant elasticity of variance

کلیدواژه‌ها

عنوان مقاله [English]

### Numerical solution of the time-fractional Black-Scholes equation for European double barrier option with time-dependent parameters under the CEV model

نویسندگان [English]

• Maryam Rezaei 1
1 Ph.D. student of Applied mathematics, Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematical Sciences, Semnan University, Semnan, Iran
2 Assistant Professor of Financial Mathematics, Faculty of Economic Science, Kharazmi University, Tehran, Iran
چکیده [English]

Barrier options are considered the most widely used financial derivatives, which are massively traded in the financial markets due to its cheaper price in comparison with other standard options. Also, these options are family-path-dependent options, because their value depends directly on the movement of the underlying asset value during the option contract. Because the accurate order differential equation is unable the effect of trend memory in financial market, in this paper, we consider the fractional order differential equation. In order that our problem is closer to the real market model, we assume that interest rate, dividend yield and volatility are as function. The main purpose of this paper is to determine the price of European double-knock-out barrier option under the time-fractional Black-Scholes model with a fractional order . In here, the underlying asset follows the constant elasticity of variance (CEV) model. Such problems do not have exact solution in closed form, so using a finite difference method we find a suitable numerical solution by introducing implicit difference scheme. In the continuation, we investigate unconditional stability and convergence the proposed scheme by using Fourier analysis. We finally show the efficiency of the proposed difference scheme and its numerical convergence order by mentioning some numerical examples. In addition, we study the effect of the important model parameters (,  and ) on long memory in form table and figure.

کلیدواژه‌ها [English]

• Option pricing
• Double barrier option
• Time-fractional Black-Scholes equation
• Stability and convergence